Wurzel- und Quotientenkriterium

Diese beiden Kriterien sind immer dann anwendbar, wenn der Summationsindex als Exponent im Reihenglied auftritt. Eine andere Möglichkeit ist, wenn ein Ausdruck der Form k! (Fakultät) auftritt. Bei Reihen der Form ∑1/n^a versagen sie dagegen.

Sei eine Reihe ∑a_k gegeben.

Quotientenkriterium:

Existiert der Grenzwert

lim k→∞

|

ak+1 ak

| = q,

so konvergiert die Reihe, falls q < 1 ist, und divergiert, falls q > 1. Ist q = 1, so gibt es keine Aussage.

Wurzelkriterium:

Existiert der Grenzwert

lim k→∞

⎛ ⎝ ak ⎞ ⎠ 1 k

= q,

so konvergiert die Reihe, falls q < 1 ist, und divergiert, falls q > 1. Ist q = 1, so gibt es keine Aussage.

Ist k Exponent des gesamten Reihengliedes, kann man sehr einfach das Wurzelkriterium anwenden, ansonsten ist es meistens leichter, das Quotientenkriterium zu verwenden. Man muss dann aber beachten, dass ab einem bestimmten Index k₀ die Reihenglieder nicht Null werden dürfen, sonst ist der Qoutient a_k+1/a_k nicht definiert.

Beispiel

∞ ∑ k=1

k2 2k

Im Nenner kommt k als Exponent vor. Wir verwenden das Quotientenkriterium. Es gilt

|

ak+1 ak

|  =

(k+1)2 2k+1

·

2k k2

=

(k+1)2 2k2

=

(1+ 1 k )2 2

k→∞   ▸

1 2

< 1.

Also ist die Reihe konvergent.

Beispiel

∞ ∑ k=1

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

k k+1

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

k2

k ist Exponent des Reihengliedes. Wir versuchen das Wurzelkriterium anzuwenden. Es ist

⎛ ⎝ ak ⎞ ⎠ 1 k

=

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ k k+1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ k2   ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 1 k

=

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

k k+1

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

k

=

1 (1+ 1 k )k

k→∞   ▸

1 e

< 1,

denn

lim n→∞

(1+

1 n

)n = e.

Also ist die Reihe konvergent.

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