Binomische Formeln
Tipp 1
Merke dir die Begriffe: Polynom und Binom.
Jede Subtraktion kann als Addition aufgefasst werden. So gilt z.B. 5a-3b
= 5+(-3b)
Algebraische Summen werden als Polynome
bezeichnet.
z.B. 3a+4b-3c²+2 oder 5x³-2y
Wenn die Summe nur aus zwei Summanden besteht, spricht man von einem
Binom.
Das Polynom 5x³-2y ist beispielsweise ein Binom.
Weitere Beispiele für Binome sind: 3a-2b oder 16u³+12v
Tipp 2
Wichtig ist zu wissen, dass Polynome sich multiplizieren lassen.
Du kannst beispielsweise (3v-2w)²=(3v-2w)·(3v-2w) rechnen. Hier wird das
Binom (3v-2w) mit sich selber multipliziert, es handelt sich um einen
Sonderfall.
Die binomischen Formeln zeigen drei wichtige
Sonderfälle:
|
I |
(a+b)² = (a+b)(a+b) = a²+2ab+b² |
II |
(a-b)² = (a-b)(a-b) = a²-2ab+b² |
III |
(a+b)(a-b) = a²-b² |
Tipp 3
Die erste binomische Formeln kann man gut mit dem
Rechteckmodell veranschaulichen: |
I |
(a+b)² = (a+b)(a+b) = a²+2ab+b² |
Auch mit Hilfe des Malkreuzes kann man die Multiplikation nachvollziehen.
Tipp 4
Erstelle für die 2. und 3. binomische Formel selber
ein Malkreuz und kontrolliere sie. |
II |
(a-b)² = (a-b)(a-b) = a²-2ab+b² |
Hinweis 5
Mit Hilfe der binomischen Formeln kannst du nun Produkte berechnen:
Oft ist die umgekehrte Situation gegeben:
Eine Summe soll als Produkt von Faktoren dargestellt werden.
Tipp 6
Kennst du den Zusammenhang zwischen den binomischen Formeln und dem
Pascal′schen Dreieck? Das Pascal′sche Dreieck enthält die
Binomialkoeffizienten. Sie sind im Dreieck so angeordnet, dass ein Eintrag
die Summe der zwei darüber stehenden Einträge ist.